哥德尔定理与量子力学的完备性
程明博士， 曾在《自然》，《物理评论通讯》PRL 等世界顶尖学术杂志上发表过 10 多篇论文，被多本教科书，,以及诺奖获得者引用。曾在美国硅谷多家高科技公司工作，著有《留美专家谈电子商务》，广东人民出版社，2000年，和 《有机分子的电子晶体学》，Springer, 2012， (章节作者)。曾海归在南京大学，武汉大学任教和担任研究生指导老师。
***
哥德尔的不完备性定理对量子力学的完备性有重要影响。如果用通俗的语言来描述哥德尔的不完备性定理，那就是，
第一不完备性定理：在任何足够复杂的公理系统中（如包含自然数的算术），总存在一些命题既无法被证明也无法被证伪。
第二不完备性定理：这样的公理系统无法证明自身的一致性。
这意味着，即使我们为数学建立了一套看似完备的公理体系，也无法避免存在某些真命题无法被证明。。
哥德尔的不完备性定理已经让希尔伯特的公理化大厦塌陷，希尔伯特的公理化计划旨在通过一组完备且自洽的公理来构建所有数学理论。然而，哥德尔的不完备性定理对这一计划提出了根本性的挑战。
那么，是不是在量子力学中，任何试图建立一个完全自洽且完备的数学理论的努力也都是不可能实现的的呢。
在量子力学中，这种不完备性体现在，量子力学中的某些问题可能无法通过现有的理论框架完全解决。这与哥德尔定理在数学中的影响类似，表明在物理学中也可能存在一些无法通过现有理论解释的现象。量子缠绕的机制问题就是一例。
此外，哥德尔定理还暗示了量子力学中的某些不确定性和测量问题。，哥德尔定理的思想可能提供了一种新的视角。
我们来看看量子力学的公理化：
量子力学的公理化是通过一组基本公理或假设来系统化地描述其理论框架。以下是量子力学的主要公理：
态矢量空间：量子系统的状态由希尔伯特空间中的态矢量表示，每个态矢量对应一个可能的量子态。
可观测量和算符：物理可观测量（如位置、动量、能量等）由希尔伯特空间上的自伴算符表示，每个可观测量对应一个算符，其本征值代表可能的测量结果。
测量后态：对一个可观测量进行测量时，系统的态矢量会坍缩到该可观测量的一个本征态，测量结果是对应的本征值。测量结果的概率由态矢量在该本征态上的投影的模平方决定。
时间演化：孤立量子系统的时间演化由薛定谔方程描述，系统的态矢量随时间的变化由哈密顿算符决定。
这些公理构成了量子力学的基础，帮助我们理解和预测量子系统的行为。上面的公理在量子计算的理论中工作的很好。因此，有量子计算数学家说，你们物理学家其实没有必要去做那些验证实验的，只要这些公理是正确，我们就不可能错。
在量子力学中，虽然我们可以通过以上公理来描述其基本框架，但这并不意味着我们能够建立一个完全自洽且完备的理论。量子力学本身包含了许多不确定性和测量问题，这些问题可能无法通过现有的理论完全解决。例如，量子测量问题和波函数坍缩，以及量子缠绕的解释问题仍然是未解之谜。
比如说：薛定谔方程描述的时间演化是连续且确定的，而测量过程中的波函数坍缩是瞬间且随机的。具体来说，测量前系统处于叠加态，但测量后系统坍缩到一个确定的本征态，这一坍缩过程无法通过薛定谔方程来解释。这两者之间的矛盾有人称为量子测量悖论，虽然可以有不同的解释。主流，即哥本哈根派的诠释是：认为测量导致波函数坍缩，测量结果是随机的。 加以一定的解释，我们可以认为它们是自洽的，但不能说它们是完备的。
而且。以上公理完全避开了量子计算中的退相干问题。这是量子计算实验中最实际的一个问题。
爱因斯坦一直认为量子力学是不完备的，这也是他在1935年与波多尔斯基和罗森共同发表那篇著名的EPR论文的原因。EPR论文提出了一个思想实验，旨在证明量子力学不能提供对物理实在的完备描述。然而，后来的实验（如贝尔实验）表明，量子力学的预测与实验结果一致，而EPR论文所依赖的定域实在论则被否定。
尽管如此，这并不意味着量子力学的完备性问题已经完全解决。爱因斯坦的质疑在于量子力学是否能够提供一个完全自洽且完备的描述，而这一问题仍然存在争议。
因此，可以说爱因斯坦的质疑是有道理的，但他所针对的方向（定域实在论）被证明是错误的。量子力学的完备性问题仍然是一个开放的研究领域。
如果说，我们完全不管量子物理实验的具体情况，如退相干，量子缠绕等等，纯粹考虑量子力学的形式主义呢？那就回到了纯粹的哥德尔定理的数学情况，那一个完全自洽且完备的数学理论也是不可能的。
但是，我们也不用太悲观，哥德尔的不完备定理并没有完全否定公理体系，而是揭示了它们的局限性。尽管如此，公理体系在数学和逻辑中仍然是至关重要的工具。它们为我们提供了一个结构化的方法来推导和验证数学命题。哥德尔的不完备定理只是提醒我们，任何足够复杂的公理系统都有其无法覆盖的真理领域，但这并不意味着这些系统没有价值。
量子力学或许没有绝对的完备性，我们追求相对的完备性，就是说，它在一定范围内和条件下是正确的。下一节我们就谈这个问题。
我们最后说明一下， 量子力学在哥德尔定理意义下的不完备性和希尔伯特空间的完备性是两个不同的概念，分别涉及数学逻辑和泛函分析。以下是它们的区别：
希尔伯特空间的完备性
希尔伯特空间是一个带有内积的完备向量空间。完备性意味着在希尔伯特空间中，所有的柯西序列都会收敛到该空间中的某个点。这种完备性确保了许多微积分概念可以在希尔伯特空间中推广和应用。
在量子力学中，希尔伯特空间是描述量子系统状态的数学框架。量子态由希尔伯特空间中的态矢量表示，物理可观测量由自伴算符表示。希尔伯特空间的完备性确保了量子力学的数学描述具有一致性和稳定性。
总结
哥德尔定理的不完备性：涉及数学逻辑，表明在任何足够复杂的公理系统中，总存在无法被证明或证伪的命题。
希尔伯特空间的完备性：涉及泛函分析，确保在希尔伯特空间中，所有的柯西序列都会收敛到该空间中的某个点，提供了量子力学的数学基础。