数学美和物理美
图: 曼德博集合的边界, 取自维基
作者:程明博士
程明博士所作虾图
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罗素曾写过一篇关于数学美的文章,被誉为经典之作。他的英语文笔非常优美,并因此获得了诺贝尔文学奖。关于物理美的文章也有很多人写过。多年前,我在讨论音乐、数学和物理的关系时也写过一篇文章。如今,感觉又有了新的认识,特此整理出来,抛砖引玉,与大家分享。
数学美和物理美有时候确实难以区分,特别是在当今,物理和数学的界限变得越来越模糊。弦理论是物理还是数学?量子计算是物理还是数学?数学家认为是数学,物理学家认为是物理,而信息学家则认为是信息学。信息学家声称,世界上除了信息,实际上什么也没有。所有的美丽都可以用0和1的排列组合表示。就像电影《美丽心灵》中所表现的那样,我们看到的是一堆符号,而天才看到了美丽。
一般认为,数学的美是一种逻辑的美,而物理的美是一种自然的美。如果美术表现的是崇山峻岭、夕阳朝霞的外在美,那么物理表现的是浩瀚星空、量子奥秘的内在美。而超自然的数学表现的是一种逻辑的美,一种抽象的美,一种理性的美,它们似乎可以不与任何自然现象关联。
然而,从数学帕拉图主义的角度来看,数学的美丽其实也是一种自然美。花瓣的排列遵循斐波那契数列,贝壳的螺旋形状符合对数螺线。曼德博集合的边界美丽得令人惊叹,这是一种在复平面上组成分形的点的集合。任何数学模型在自然界都有其对应。因此,我们能感受到它的美丽,就像我们能感受到音乐的美丽一样,它在我们心中产生共鸣,因为我们也是自然界所塑造的,比如人体就按黄金比例构造,我们自然觉得黄金比例看起来舒服。所以,数学通过逻辑和抽象揭示了自然界的深层结构。
图: 大自然中的斐波那契数列,图片来自网络。
图: 贝壳的螺旋形状符合对数螺线。
物理理论总是以数学表达的,比如麦克斯韦方程。我们知道,麦克斯韦方程是从十几个零散的物理方程总结而来,它们在物理上是等效的,但麦克斯韦方程表现出了新的物理意义和美丽。它是物理美和数学美有机结合的典范。爱因斯坦的质能公式也是如此,所有美丽都在于其奥妙的物理内涵和数学上的简洁。
对称是一种美,比如数学上的分形,民间的万花筒。许多美丽是对称的,但对称性的残缺也是一种美。为什么我们感觉对称性的残缺也是一种美呢?因为它同样存在于自然界中,并与我们产生共鸣。
音乐表现得更为清晰,音乐美其实就是数学美和物理美。长期以来,人们只谈论音乐的数学美,但仔细一看,其背后的本质都是物理。和声是一种物理效应,其数学其实很简单。比如噪音,噪音其实就是不和谐的声音,比如在钢琴上不按和弦规则按下的声音,听上去就是噪音,因为它与我们内在的构造不和谐。
西方美术和音乐都是按科学,其实就是物理原理,建立的。和声建立在泛音列上,而旋律建立在和声之上。 泛音列,就是一个声音的傅里叶展开。 而我们的耳朵和眼睛,都内嵌有傅里叶变换的天生能力。 所以。美,包括数学美和物理美,就是从自然中得到的和谐和抽象。
图:声音的傅里叶展开。 AI作图